可逆矩阵的行列式
可逆矩阵与其逆矩阵是大学数学（高数）中的重点知识也是期末考试和研究生入学考试中的高频考点。本文重点来
2023-04-19 17:16:19
可逆矩阵与其逆矩阵是大学数学（高数）中的重点知识也是期末考试和研究生入学考试中的高频考点。本文重点来谈谈“逆矩阵的行列式值与原矩阵行列式的关系”：逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式的乘积为1，即二者互为倒数。
矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
(资料图片)
证明如下：
因为 AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵.
所以 |AB|=|BA|=1。
当A是方阵时，|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,
有 |B|=1/|A|。
性质定理：
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
证明：
1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。
2、设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。
3、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
4、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。
矩阵A可逆，有AA-1=I。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I。
由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
5、1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O
而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O。
2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I。
得B-C=O，即B=C。
关键词：
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